Vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\a+c>b\\b+c>a\end{cases}}\)(bất đẳng thức tam giác)

\(\Rightarrow\frac{c}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{b}{a+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)(đpcm)

Ký hiệu: 

AB=c; AC=b; cạnh huyền BC=a; đường cao CH=h Ta có

Xét hai t/g vuông AHC và ABC có

\(\widehat{C}\)chung

\(\widehat{CAH}=\widehat{ABC}\)(cùng phụ với \(\widehat{C}\))

=> t/g AHC đồng dạng với ABC \(\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{h}{c}\Rightarrow bc=ah\)

Xét t/g vuông ABC có

\(b^2+c^2=a^2\Rightarrow\left(b+c\right)^2=a^2+2bc\)

\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2=a^2+2ah\)( bc=ah chứng minh trên)

\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2=\left(a^2+2ah+h^2\right)-h^2=\left(a+h\right)^2-h^2\)

\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2+h^2=\left(a+h\right)^2\)

=> b+c; a+h; h là 3 cạnh của tam giác vuông trong đó cạnh huyền là a+h

Sorry!!!

Phần ký hiệu sửa thành 

Đường cao AH=h

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Tương tự: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) ; \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Nhân vế với vế:

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác đã cho là tam giác đều

Ta có a < b + c; b < c + a; c < a + b nên từ a + b + c = 2 suy ra a, b, c < 1.

BĐT cần cm tương đương:

\(\left(a+b+c\right)^2+2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)+2\)

\(\Leftrightarrow abc-\left(ab+bc+ca\right)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\).

Bất đẳng thức trên luôn đúng do a, b, c < 1.

Vậy ta có đpcm.

đề kiểu gì vậy bạn tui nghĩ là thế này

áp dụng BDT tam giác

\(=>\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\a+c>b\end{matrix}\right.\)\(=>\)\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)>0< =>\left[a+\left(b-c\right)\right]\left[a-\left(b-c\right)\right]>0\)

\(=>a^2-\left(b-c\right)^2>0=>a^2>\left(b-c\right)^2=>\left(b-c\right)^2< a^2\)

\(=>a\left(b-c\right)^2< a^3\left(1\right)\)

cminh tương tự \(=>b\left(c-a\right)^2< b^3\left(2\right)\)

\(=>c\left(a-b\right)^2< c^3\left(3\right)\)

(1)(2)(3)\(=>VT< a^3+b^3+c^3\)

Vì a, b, c là 3 cạnh tam giác nên a, b, c >0 và a <b+c ; b< c+a, c < a+b

Dùng bđt với x, y > 0 ; x< y(  tức x/y < 1) ta có x /y < x +m < y+m :

ta có a>0 ; b+c>0 và a < b+c => a/ b+c < a +a/a+b+c = 2a/a+b+c

tương tự b/c+a < 2b/a+b+c ; c/a+b <2c/a+b+c

Cộng từng vế 3 bđt trên sẽ ra bn nhé.

Để chứng minh rằng ama + bmb + cmc ≥ √32, ta sử dụng bất đẳng thức tam giác. Bất đẳng thức tam giác cho biết rằng tổng độ dài của ba đường trung tuyến của một tam giác luôn lớn hơn hoặc bằng bình phương độ dài cạnh tương ứng. Vì vậy, ta có:

ama + bmb + cmc ≥ (ma + mb + mc)²/3

Theo định lý đường trung tuyến, ta biết rằng ma + mb + mc = 3/2(a + b + c). Thay vào biểu thức trên, ta có:

ama + bmb + cmc ≥ (3/2(a + b + c))²/3

Simplifying the expression, we get:

ama + bmb + cmc ≥ 3/4(a + b + c)²

Để chứng minh rằng ama + bmb + cmc ≥ √32, ta cần chứng minh rằng 3/4(a + b + c)² ≥ √32. Tuy nhiên, để chứng minh điều này, cần thêm thông tin về giá trị của a, b, c.